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    DETTAGLIO ARGOMENTI TRATTATI

    Lezione del 6-10-2015  10-13
    Introduzione al corso. Lezioni teoriche ed esercitazioni. Modalità’ dell’esame. Libri di testo di riferimento. Orario di Ricevimento.

    Serie aritmetica: soluzione tramite rappresentazione geometrica e soluzione analitica.
    Def. generale serie aritmetica. Somma degli interi sino ad N, somma dei dispari sino a 2N+1. Serie telescopiche ed esempi, serie di Mengoli serie di termine 1/n(n+2) e serie telescopiche generalizzate.
    Dato esercizio su serie telescopica di termine generico 3n^2-3n+1 (da sommare come serie telescopica).

    Lezione dell' 8-10-2015  11-13
    Riepilogo serie aritmetica e telescopica.  Calcolo combinatorio e serie binomiale: fattoriale e permutazioni di n elementi. Coefficienti binomiali: definizione. Calcolo dei primi coeffcienti binomiali e loro rappresentazione con il triangolo di Tartaglia. Esercizio per casa: dimostrazione che il triangolo di Tartaglia e' ottenuto dai coefficenti binomiali.  Coefficienti binomiali come sviluppo in serie della potenza ennesima del binomio (x+y). 3 proprieta' dei coeff. binomiali: sono numeri interi, sono simmetrici rispetto a k --> n-k, si sommano secondo il triangolo di Tartaglia.

    Lezione dell' 13-10-2015  10-13
    Serie Geometrica. Bambino affamato che mangia la torta. Quanta ne ha mangiata dopo 10 bocconi?
    2) Finisce la torta (se il tempo per boccone e' inversamente proporzionale alla sua estensione)? Se si, in quanto tempo? Paragone con lancette orologio.

    Serie geometrica 1+r +r^2+.. Collegamento con il bambino affamato. Cenni al limite per N--> infinito.
    Def. Generale Serie geometirca. La serie aritmetica geometrica. L'esempio della pallina che rimbalza sempre meno. Riepilogo somme notevoli. Esercizi: Somma dei primi N quadrati. Numero di sottoinsiemi di un insieme dato.
    Esercizio dato a casa: Sommare i primi N interi pensando la serie come telescopica. Sfruttare la serie telescopica per  sommare i primi N cubi, come serie telescopica.


    Lezione del 15/10/15 11-13
    Definizione di successione Def. di limite di una successione. Richiamo di limite di funzione per x -> x_0 e per x->\infty; paragone con limite di una successione per n-> \infty. Esempi. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Operazioni con due successioni: somme, prodotti, quozienti, potenze. I casi indeterminati 0 x infinito infinito/infinito, 1^ infinito. esempi.
    Insiemi limitati in R, maggiorante, massimo e estremo superiore. Successione monotone crescenti limitate sono convergenti.


    Lezione del 20/10/15 10-13
    Riassunto lezione precedente. Dimostrazione che successioni  monotone crescenti e limitate sono convergenti. Esempi Studio delle successioni: {r^n} con r reale, {n^a}  con a reale e positivo.
    Serie numeriche, definizioni. Serie convergenti divergenti e indeterminate.
    Carattere della serie geometrica di ragione r. Carattere della serie di Mengoli.  Condizione necessaria alla convergenza di una serie  e' che il termine n-esimo vada a zero, (non e' condizione sufficiente, es. serie armonica). Esercizi su somme telescopiche di interi e di cubi. Esercizi elementari di calcolo combinatorio.


    Lezione del 23/10/15 11-13
    Riepilogo: def. serie e suo carattere. Serie a termini positivi o convergono o divergono. Teorema del confronto (con dim. dettagliata). Esempio. Corollario del confronto asintotico (senza dim). Criterio della radice (con dim.).


    Lezione del  27/10/15 10-13
    Riepilogo criteri per convergenza di successioni e criterio del rapporto (senza dim.) Esempio.
    Funzioni logaritmo: def., grafico, proprieta'. Funzione inversa. Funzione esponenziale. Potenze con esponente numero reale. Il numero di Nepero e come limite notevole.


    Lezione del 29/10/15 11-13
    Criterio del confronto integrale (con dim.). Esercizi su limiti notevoli e sul carattere di serie.
    Esercizi per casa.


    Lezione  del 3/11/15 10-13
    Serie assolutamente convergenti e dimostrazione che sono convergenti. Serie a segno alterno e enunciato del criterio di Leibnitz. Esempio: serie armonica a segno alterno, e sua somma a ln(2).
    Riassunto sui criteri per studiare il carattere di serie. Esercizi sulle serie.


    Lezione  del 6/11/15 11-13
    Successioni di funzioni continue possono essere funzioni discontinue, esempio: {x^n}. Serie di funzioni. Serie totalmente convergenti. Teorema su continuita', integrabilita' e derivabilita' di serie totalmente convergenti. Applicazione: studio convergenza puntuale e totale della serie geometrica. Studio convergenza totale e puntuale della serie x^n/n e sua somma alla funzione -ln(1-x) per x in [-1,1).


    Lezione  del 10/11/15 10-13
    Studio approfondito di cinque esempi di serie di potenze. Enunciato teorema di esistenza raggio di convergenza R per serie di potenze. Metodi di calcolo (criterio del rapporto e della radice). Esempi. Serie di potenze sono derivabili termine a termine e la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza. La funzione somma di una serie di potenze e' infinitamente derivabile. Serie di Taylor di una funzione infinitamente derivabile, richiamo della formula del resto e funzioni esprimibili come serie di potenze. Esponenziale, logaritmo seno coseno come serie di potenze.

    Lezione  del 13/11/15 11-13
    Serie di potenze delle funzioni seno e coseno iperbolico, e radice quadrata. Esercizio dato: derivare in 3 modi differenti i primi 3 termini della funzione (1+x)^1/2. Determinazione dell'intervallo di convergenza. Esercizio: completato lo studio della serie a segni alterni data da 1/n^(1/n+1). Punti del piano come 1) spazio vettoriale, 2) campo, con il prodotto componente per componente 3) campo complesso. Numeri Complessi come punti del piano equipaggiati con l'usuale operazione di somma e con un nuovo tipo di prodotto. Coordinate cartesiane e polari. Il prodotto di numeri complessi e' immediato in coordinate polari. La notazione "i" (parte reale e immaginaria di un numero comlesso). Esempi di prodotti nel piano complesso.

    Lezione  del 17/11/15 10-13
    Il piano complesso: notazioni P, z, (x,y), (\rho. \alfa), x+iy, Re(z)+ i Im (z), \rho cos(\alfa) +i \rho sin(\alfa). Complesso coniugato e rappresentazione grafica. Modulo di z. Geometria del piano complesso: il modulo di z-z' e' la distanza (euclidea) tra z e z'. Radici ennesime di un numero complesso. La costruzione di poligoni regolari. Successioni di numeri complessi convergenti e successioni reali associate (parte reale e immaginaria). Funzioni da numeri complessi in numeri complessi, esempi: funzioni polinomiali in z. Serie di potenze complesse convergenti ad una funzione somma s(z). Proprieta' delle serie di potenze complesse (raggio di convergenza). Esempio di serie di potenze complessa. Funzioni complesse definite tramite serie di potenze. Esponenziale complesso. Formula di Eulero.
    Nota: Dieci esercizi per casa, con soluzioni sul sito docente.

    Lezione  del 20/11/15 11-13
    Esponenziale complesso e sue proprieta' algebriche. La funzione esponenziale complesso manda rette verticali in cerchi concentrici e rette orizzontali in semirette che originano dall'intersezione degli assi. Studio delle regioni di iniettivita'. Logaritmo complesso e suo dominio. La serie di potenze ln(1+z) e il calcolo di pi greco. Esercizio dato a casa: Relazione tra funzioni trigonometriche e iperboliche: calcolo di cos(ix) e di sin(ix). Dati 9 esercizi, con soluzioni sul sito docente. Due esercizi su serie di potenze complesse. Calcolo del raggio di convergenza e del comportamento alla frontiera.

    Lezione  del 24/11/15 10-13
    Polinomi trigonometrici. Serie trigonometriche e condizione sufficiente per loro convergenza totale. Relazione tra i coefficienti di una serie trigonometrica e la funzione somma [e ortogonalita' di sin(nx) e cos(nx)]. Serie di Fourier di una funzione periodica. Enunciato del teorema di Dirichlet sulla convergenza puntuale della serie di Fourier di una funzione data. Cenni sulla compressione dati (musicali o video) tramite serie di Fourier troncata. Esercizio: Serie di Fourier della funzione a gradino, analisi grafica, proprieta' di simmetria (parita'), calcolo algebrico. Esercizio: l'equazione z^5= x+i con x=radice di 3. Esercizi di disegno di numeri complessi nel piano.

    Lezione  del 26/11/15 11-13
    Serie di Fourier nello spazio vettoriale delle funzioni quadrato sommabili su [-Pi greco, Pi greco]. Serie di Fourier utilizzando l'esponenziale al posto di seno e coseno. Serie di Fourier nello spazio di Hilbert delle funzioni quadrato sommabili, e notazioni della meccanica quantistica. Periodi diversi da 2 Pi greco. Cenni al limite al continuo e trasformata di Fourier. Utilizzo delle serie di potenze per risolvere equazioni differenziali (metodo di Frobenius). Un esempio semplice: f"(x)=f(x) con condizioni iniziali f(0)=1, f'(0)=0.

    Lezione dell' 1/12/15 10-13
    Svolgimento alla lavagna dell'esame di prova (esercitazione) dato il 28.12.15.
    L'esercizio sulla serie che ha portato alla soluzione di Planck del problema del corpo nero e' stato collegato a quel contesto.