Programma svolto e Dettaglio degli Argomenti Trattati

Docente: Dott. ASCHIERI Paolo Maria

E-mail:paolo.aschieri@unipmn.it

Numero CFU: 5 (40 ore)

Anno: 2

Periodo di insegnamento: 1

Codice disciplina: S1654

Prerequisiti: Le attività formative in Matematica svolte nei quadrimestri precedenti.

Programma svolto:

Elementi di calcolo combinatorio.

Serie e successioni. Esempi. Criteri di convergenza.

Numeri complessi. Radice ennesima. Successioni e serie nel piano complesso.

Serie di funzioni e di potenze. Raggio di convergenza.

Serie di Fourier. Esempi.

Testi consigliati: Riley, Hobson, Bence “Mathematical Methods for Physics and Engineering”. (Cambridge U. Press). Crasta, Malusa Matematica 2, Teoria ed Esercizi (Pitagora). Bramant,i Pagani, Salsa, Matematica (Clacolo infinitesimale e algebra lineare) Zanichelli.

Per esercizi e approfondimenti: Apostol “Analisi 1”,  Apostol “Analisi 2” (Boringhieri) . Spiegel "Analisi di Fourier" (collana Schaum).

Obiettivi: Acquisire alcuni strumenti matematici ampiamente utilizzati in Fisica applicata.

Metodi didattici: Didattica frontale in aula, con esercitazioni in itinere.

Metodo di valutazione: Verifica scritta.

DETTAGLIO ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO

1) Serie e somme finite. Notazione di sommatoria.
Serie aritmetica e sua rappresentazione grafica. Esecuzione della somma graficamente e algebricamente. Serie telescopica.

2) Serie telescopica ed esempi (con frazioni e con potenze di n). Serie telescopica generalizzata, esempi.
Serie geometrica.

3) Riepilogo somme notevoli. Calcolo combinatorio e serie binomiale. Fattoriale e permutazioni di n elementi. Coefficienti binomiali e triangolo di Tartaglia. Coefficienti binomiali e potenza ennesima del binomio x+y (con dimostrazioni).

4) Espansione della potenza ennesima del binomio e applicazioni.
Zeri del polinomio (x+1)^n. Rappresentazione grafica.
Proprieta' coefficienti binomiali.
Combinazioni di n elementi presi k alla volta. Cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito.
Esercizi.

5) Esercizio su serie aritmetica-geometrica. Esercizio scrivere come sommatoria una proprieta' notevole del triangolo di Tartaglia. Simmetria del triangolo di Tartaglia. Esercizi su coefficienti binomiali e calcolo combinatorio (bandiere tricolori da vernici di 5 colori, coni gelato di tre palline da cinque gusti diversi).

6) Successioni. Def. di successione, esempi. Limite di una successione di numeri reali. Confronto con limite di funzioni. Esempi. Successione delle ridotte ennesime associate ad una serie.

7) Riassunto successioni (con def.). Succ. convergenti, divergenti e indeterminate.
Limiti notevoli di successioni. Maggiorante, massimo ed estremo superiore di un sottoinsieme di numeri reali. L'assioma dell'estremo superiore implica che successioni monotone limitate sono convergenti.

8) Somme, prodotti e quozienti di successioni e loro limiti. Esempi di limiti di successione. Def. di Serie e loro carattere (convergente, divergente indeterminato). Studio del carattere della serie geometrica di ragione r al variare di r nei reali. Convergenza della serie di Mengoli.
Condizione necessaria per la convergenza di una serie e' che il suo termine ennesimo tenda a 0.
Somme di serie.

9) Esercitazione: successioni monotone illimitate crescenti sono divergenti.
Serie a termini non negativi. Teorema del confronto. Corollario del confronto asintotico.
Criterio della radice. Criterio del rapporto e dimostrazione. Esempi.

10) Ripasso della funzione logaritmo (definizione, grafico, proprieta', illimitatezza) ed esponenziale (definizione, grafico, proprieta').
Esercizi su limiti notevoli di successioni.
Esercizi su carattere di serie a termini non negativi (utilizzando criteri del confronto, del confronto asintotico, della radice).

11)  Esercizi su serie a termini positivi (esercizi su criterio del rapporto e del confronto.) Serie con logaritmi e crescita del logarimo piu' lentamente di una qualsiasi potenza con esponente positivo).
Criterio del confronto integrale e divergenza della serie armonica.

12) Studio del carattere della serie armonica generalizzata utilizzando il criterio del confronto integrale.
Serie a termini di segno variabile e serie assolutamente convergenti.
Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibnitz (enunciato).
La serie armonica a segni alterni converge a ln 2.

13)  Successioni di funzioni. Una successione di funzioni continue puo' convergere puntualmente ad una funzione discontinua. Serie di funzioni: convergenza puntuale e totale.
Enunciato teorema di continuita', integrabilita' e derivabilita' termine a termine per serie totalmente convergenti. Esempi: serie geometrica; serie logaritmica.

14) Esempi di serie di potenze e studio della loro convergenza. Teorema di esistenza del raggio di convergenza (enunciato). Criteri (del rapporto e della radice) per il calcolo del raggio di convergenza.
Serie di potenze integrata e derivata hanno stesso raggio di convergenza della serie di partenza. Serie di potenze definiscono funzioni infinitamente derivabili.
La serie di potenze per l'esponenziale e il calcolo del numero e.

15) Funzioni definite da serie di potenze, e serie di Mac Laurin di una funzione.
Esempio di funzione f infinitamente derivabile che ha serie di Mac Laurin con somma diversa fa f.
Serie notevoli di funzioni: exp., log, sin, cos, sinh, cosh, radici ennesime di (1+x).

16) Serie di potenze di centro x_0, e sviluppo di una funzione in serie di Taylor intorno al punto x_0.
Equazioni differenziali risolte tramite serie di potenze: due esempi

17)  I numeri complessi sono i punti del piano equipaggiati con l'usuale operazione di somma e con un nuovo tipo di prodotto. Coordinate cartesiane e polari. Il prodotto di numeri complessi e' immediato in coordinate polari. La notazione "i" (parte reale e immaginaria di un numero comlesso).
Coniugato e modulo di z. Il modulo di z-z' e' la distanza (euclidea) tra z e z'.
Successioni di numeri complessi convergenti e successioni reali associate (parte reale e immaginaria).
Funzioni da numeri complessi in numeri complessi, esempi: funzioni polinomiali in z.
Serie di potenze complesse convergenti ad una funzione somma s(z).

18)  Proprieta' delle serie di potenze complesse (raggio di convergenza).
Funzioni complesse definite tramite serie di potenze.
Esponenziale complesso. Formula di Eulero.
Radici ennesime di un numero complesso.
La serie di potenze ln(1+z) e il calcolo di pi greco.

19) Esercizi su serie di potenze complesse. Calcolo del raggio di convergenza e del comportamento alla frontiera.

Introduzione alle Serie trigonometriche. Condiozioni per la loro convergenza totale.

20) Relazione tra i coefficienti di una serie trigonometrica convergente e la funzione somma a cui la serie coverge.[e ortogonalita' di sin(nx) e cos(nx)]. Serie di Fourier di una funzione periodica.
Enunciato del teorema di Dirichlet sulla convergenza puntuale della serie di Fourier di una funzione data. Cenni sulla compressione dati (musicali o video) tramite sviluppo in serie di Fourier.
Periodi diversi da 2 pi greco. Notazione esponenziale complessa.

Esempio: Serie di Fourier della funzione a gradino, analisi grafica, proprieta' di simmetria (parita'), calcolo esplicito.

Last modified: Thursday, 11 December 2014, 6:48 PM